多目标跟踪系统里，卡尔曼滤波几乎是标配：ByteTrack 用它预测轨迹位置，DeepSORT 用它做运动关联，几乎所有基于检测的跟踪器都把它当作运动模型的标准件。但很多人对它的理解停留在"调参能用"的层面：过程噪声协方差 Q Q Q R R R
状态估计要解决的是这样一个问题：我们无法直接观测系统的真实状态，只能通过带噪声的观测来推断它。以跟踪为例，目标的真实位置 ( x , y ) (x, y) ( x , y )
形式化地说，系统由两个方程描述：
状态转移方程 （描述状态如何随时间演化）：
x k = f ( x k − 1 ) + w k x_k = f(x_{k-1}) + w_k
x k = f ( x k − 1 ) + w k
观测方程 （描述状态如何产生观测）：
z k = h ( x k ) + v k z_k = h(x_k) + v_k
z k = h ( x k ) + v k
其中 x k ∈ R n x_k \in \mathbb{R}^n x k ∈ R n k k k z k ∈ R m z_k \in \mathbb{R}^m z k ∈ R m w k w_k w k v k v_k v k f f f h h h
w k ∼ N ( 0 , Q k ) , v k ∼ N ( 0 , R k ) w_k \sim \mathcal{N}(0, Q_k), \quad v_k \sim \mathcal{N}(0, R_k)
w k ∼ N ( 0 , Q k ) , v k ∼ N ( 0 , R k )
Q k Q_k Q k R k R_k R k 这两个矩阵是卡尔曼滤波里仅有的两个"旋钮"，它们的比值决定了滤波器是更信任预测还是更信任观测 ，这个直觉在后面的推导中会反复出现。
状态估计的终极目标是求后验分布 p ( x k ∣ z 1 : k ) p(x_k \mid z_{1:k}) p ( x k ∣ z 1 : k ) z 1 : k = { z 1 , … , z k } z_{1:k} = \{z_1, \ldots, z_k\} z 1 : k = { z 1 , … , z k } x k x_k x k
预测步 ：用状态转移方程，从 k − 1 k-1 k − 1 k k k
p ( x k ∣ z 1 : k − 1 ) = ∫ p ( x k ∣ x k − 1 ) ⋅ p ( x k − 1 ∣ z 1 : k − 1 ) d x k − 1 p(x_k \mid z_{1:k-1}) = \int p(x_k \mid x_{k-1}) \cdot p(x_{k-1} \mid z_{1:k-1}) \, dx_{k-1}
p ( x k ∣ z 1 : k − 1 ) = ∫ p ( x k ∣ x k − 1 ) ⋅ p ( x k − 1 ∣ z 1 : k − 1 ) d x k − 1
更新步 ：用新观测 z k z_k z k
p ( x k ∣ z 1 : k ) = p ( z k ∣ x k ) ⋅ p ( x k ∣ z 1 : k − 1 ) p ( z k ∣ z 1 : k − 1 ) p(x_k \mid z_{1:k}) = \frac{p(z_k \mid x_k) \cdot p(x_k \mid z_{1:k-1})}{p(z_k \mid z_{1:k-1})}
p ( x k ∣ z 1 : k ) = p ( z k ∣ z 1 : k − 1 ) p ( z k ∣ x k ) ⋅ p ( x k ∣ z 1 : k − 1 )
其中 p ( z k ∣ x k ) p(z_k \mid x_k) p ( z k ∣ x k )
为什么所有滤波方法都是同一个框架
卡尔曼滤波、扩展卡尔曼滤波、无迹卡尔曼滤波、粒子滤波解决的是同一个问题（递推估计后验分布），区别只在于对这个积分和乘积的具体计算方式做了不同近似。KF 假设一切线性高斯，解析计算；EKF 做一阶线性化；UKF 用 sigma 点做确定性采样近似；PF 用蒙特卡洛随机采样近似。理解这个统一框架，就能理解它们各自的适用边界。
卡尔曼滤波（Kalman Filter，1960）是贝叶斯滤波在线性高斯情形下的解析解。它要求两个方程都是线性的，噪声都是高斯的：
x k = F k x k − 1 + B k u k + w k x_k = F_k x_{k-1} + B_k u_k + w_k
x k = F k x k − 1 + B k u k + w k
z k = H k x k + v k z_k = H_k x_k + v_k
z k = H k x k + v k
其中 F k F_k F k B k B_k B k u k u_k u k H k H_k H k 高斯分布经过线性变换仍然是高斯分布 ，因此后验分布始终是高斯的，只需跟踪均值和协方差两个量即可，无需维护完整分布。
我们用 x ^ k ∣ k − 1 \hat{x}_{k|k-1} x ^ k ∣ k − 1 z 1 : k − 1 z_{1:k-1} z 1 : k − 1 x k x_k x k x ^ k ∣ k \hat{x}_{k|k} x ^ k ∣ k z 1 : k z_{1:k} z 1 : k P k ∣ k − 1 P_{k|k-1} P k ∣ k − 1 P k ∣ k P_{k|k} P k ∣ k
预测步利用状态转移方程传播均值和协方差。均值的传播：
x ^ k ∣ k − 1 = F k x ^ k − 1 ∣ k − 1 + B k u k \hat{x}_{k|k-1} = F_k \hat{x}_{k-1|k-1} + B_k u_k
x ^ k ∣ k − 1 = F k x ^ k − 1 ∣ k − 1 + B k u k
协方差的传播需要计算 x k x_k x k x k = F k x k − 1 + w k x_k = F_k x_{k-1} + w_k x k = F k x k − 1 + w k F k ( x k − 1 − x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) + w k F_k (x_{k-1} - \hat{x}_{k-1|k-1}) + w_k F k ( x k − 1 − x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) + w k
P k ∣ k − 1 = E [ ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ ] = F k P k − 1 ∣ k − 1 F k ⊤ + Q k P_{k|k-1} = \mathbb{E}\left[ (x_k - \hat{x}_{k|k-1})(x_k - \hat{x}_{k|k-1})^{\top} \right] = F_k P_{k-1|k-1} F_k^{\top} + Q_k
P k ∣ k − 1 = E [ ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ ] = F k P k − 1 ∣ k − 1 F k ⊤ + Q k
注意协方差传播是 F P F ⊤ F P F^{\top} F P F ⊤ F P F P F P + Q k +Q_k + Q k 预测步总是让不确定性变大 ，这正是"预测不如观测可信"的数学来源。
更新步的关键概念是新息（Innovation） ：预测观测与实际观测的差。
预测观测：z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1 \hat{z}_k = H_k \hat{x}_{k|k-1} z ^ k = H k x ^ k ∣ k − 1
新息：
y k = z k − H k x ^ k ∣ k − 1 y_k = z_k - H_k \hat{x}_{k|k-1}
y k = z k − H k x ^ k ∣ k − 1
新息的协方差（先验观测协方差）：
S k = H k P k ∣ k − 1 H k ⊤ + R k S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^{\top} + R_k
S k = H k P k ∣ k − 1 H k ⊤ + R k
卡尔曼增益 K k K_k K k
K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1 K_k = P_{k|k-1} H_k^{\top} S_k^{-1}
K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1
卡尔曼增益的直觉 ：P k ∣ k − 1 H ⊤ P_{k|k-1} H^{\top} P k ∣ k − 1 H ⊤ S k − 1 S_k^{-1} S k − 1 R k → ∞ R_k \to \infty R k → ∞ S k → ∞ S_k \to \infty S k → ∞ K k → 0 K_k \to 0 K k → 0 R k → 0 R_k \to 0 R k → 0 K k → H − 1 K_k \to H^{-1} K k → H − 1 K k K_k K k
状态更新：
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k y_k
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k
后验协方差更新：
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1 P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1
卡尔曼滤波的五个方程
整个 KF 就是五个方程：预测步两个（均值传播、协方差传播），更新步三个（增益、状态更新、协方差更新）。工程实现只需要维护 $\hat{x}$ 和 $P$ 两个量，每来一帧观测就执行一轮预测加更新。这也是为什么它在嵌入式系统上也能跑：每步只有矩阵乘法和求逆。
上面的增益公式直接给出，这里给出推导，帮助理解其最优性。后验协方差可以展开为：
P k ∣ k = P k ∣ k − 1 − K k H k P k ∣ k − 1 − P k ∣ k − 1 H k ⊤ K k ⊤ + K k S k K k ⊤ P_{k|k} = P_{k|k-1} - K_k H_k P_{k|k-1} - P_{k|k-1} H_k^{\top} K_k^{\top} + K_k S_k K_k^{\top}
P k ∣ k = P k ∣ k − 1 − K k H k P k ∣ k − 1 − P k ∣ k − 1 H k ⊤ K k ⊤ + K k S k K k ⊤
我们的目标是最小化后验协方差的迹（即估计的均方误差）。对 K k K_k K k
∂ tr ( P k ∣ k ) ∂ K k = − 2 P k ∣ k − 1 H k ⊤ + 2 K k S k = 0 \frac{\partial \text{tr}(P_{k|k})}{\partial K_k} = -2 P_{k|k-1} H_k^{\top} + 2 K_k S_k = 0
∂ K k ∂ tr ( P k ∣ k ) = − 2 P k ∣ k − 1 H k ⊤ + 2 K k S k = 0
解出 K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1 K_k = P_{k|k-1} H_k^{\top} S_k^{-1} K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1 最优 的，在线性高斯假设下，KF 是所有估计器中均方误差最小的（即 BLUE：Best Linear Unbiased Estimator，且在高斯假设下也是 MMSE 最优）。
假设目标在一维直线上运动，状态为位置和速度 x = [ p , p ˙ ] ⊤ x = [p, \dot{p}]^{\top} x = [ p , p ˙ ] ⊤ Δ t \Delta t Δ t
F = [ 1 Δ t 0 1 ] , H = [ 1 0 ] F = \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad
H = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix}
F = [ 1 0 Δ t 1 ] , H = [ 1 0 ]
观测只有位置（检测器给出），速度为隐状态。过程噪声 Q Q Q
Q = q ⋅ [ Δ t 3 3 Δ t 2 2 Δ t 2 2 Δ t ] Q = q \cdot \begin{bmatrix} \frac{\Delta t^3}{3} & \frac{\Delta t^2}{2} \\ \frac{\Delta t^2}{2} & \Delta t \end{bmatrix}
Q = q ⋅ [ 3 Δ t 3 2 Δ t 2 2 Δ t 2 Δ t ]
这个 Q Q Q R R R P P P P P P
现实系统的状态转移与观测函数很少是线性的。跟踪场景里，如果状态用经纬度而观测用极坐标（距离、方位角），观测方程就是非线性的：
z k = h ( x k ) + v k = [ x 1 2 + x 2 2 arctan ( x 2 / x 1 ) ] + v k z_k = h(x_k) + v_k = \begin{bmatrix} \sqrt{x_1^2 + x_2^2} \\ \arctan(x_2 / x_1) \end{bmatrix} + v_k
z k = h ( x k ) + v k = [ x 1 2 + x 2 2 arctan ( x 2 / x 1 ) ] + v k
线性高斯假设被打破后，高斯分布经过非线性变换不再是高斯分布，KF 的解析推导失效。EKF 的思路是：把非线性函数在估计点附近做一阶泰勒展开，用雅可比矩阵代替线性变换矩阵 。
对状态转移函数在 x ^ k − 1 ∣ k − 1 \hat{x}_{k-1|k-1} x ^ k − 1 ∣ k − 1
f ( x k − 1 ) ≈ f ( x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) + F k ( x k − 1 − x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) f(x_{k-1}) \approx f(\hat{x}_{k-1|k-1}) + F_k (x_{k-1} - \hat{x}_{k-1|k-1})
f ( x k − 1 ) ≈ f ( x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) + F k ( x k − 1 − x ^ k − 1 ∣ k − 1 )
其中 F k F_k F k f f f
F k = ∂ f ∂ x ∣ x = x ^ k − 1 ∣ k − 1 F_k = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|_{x = \hat{x}_{k-1|k-1}}
F k = ∂ x ∂ f ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = x ^ k − 1 ∣ k − 1
对观测函数在 x ^ k ∣ k − 1 \hat{x}_{k|k-1} x ^ k ∣ k − 1
h ( x k ) ≈ h ( x ^ k ∣ k − 1 ) + H k ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) , H k = ∂ h ∂ x ∣ x = x ^ k ∣ k − 1 h(x_k) \approx h(\hat{x}_{k|k-1}) + H_k (x_k - \hat{x}_{k|k-1}), \quad
H_k = \left. \frac{\partial h}{\partial x} \right|_{x = \hat{x}_{k|k-1}}
h ( x k ) ≈ h ( x ^ k ∣ k − 1 ) + H k ( x k − x ^ k ∣ k − 1 ) , H k = ∂ x ∂ h ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ x = x ^ k ∣ k − 1
预测步：
x ^ k ∣ k − 1 = f ( x ^ k − 1 ∣ k − 1 ) \hat{x}_{k|k-1} = f(\hat{x}_{k-1|k-1})
x ^ k ∣ k − 1 = f ( x ^ k − 1 ∣ k − 1 )
P k ∣ k − 1 = F k P k − 1 ∣ k − 1 F k ⊤ + Q k P_{k|k-1} = F_k P_{k-1|k-1} F_k^{\top} + Q_k
P k ∣ k − 1 = F k P k − 1 ∣ k − 1 F k ⊤ + Q k
更新步：
y k = z k − h ( x ^ k ∣ k − 1 ) y_k = z_k - h(\hat{x}_{k|k-1})
y k = z k − h ( x ^ k ∣ k − 1 )
S k = H k P k ∣ k − 1 H k ⊤ + R k S_k = H_k P_{k|k-1} H_k^{\top} + R_k
S k = H k P k ∣ k − 1 H k ⊤ + R k
K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1 K_k = P_{k|k-1} H_k^{\top} S_k^{-1}
K k = P k ∣ k − 1 H k ⊤ S k − 1
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k y_k
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k y k
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1 P_{k|k} = (I - K_k H_k) P_{k|k-1}
P k ∣ k = ( I − K k H k ) P k ∣ k − 1
EKF 的一阶近似有两个问题：
强非线性下误差大 ：泰勒展开只保留一阶项，当非线性强（如大角度转弯、极坐标观测）时，线性化误差显著，可能导致滤波发散。需要解析求导 ：雅可比矩阵需要手工推导或数值近似，对复杂函数（如神经网络观测模型）不友好。误差传播仍假设高斯 ：即使做了线性化，EKF 仍然假设状态分布是高斯，线性化只会让这个假设错得更离谱。
EKF 的"线性化"本质上是"骗"自己
EKF 把非线性函数在当前估计点拉直（一阶泰勒），然后假装系统是线性的继续用 KF 的公式。这在弱非线性下工作良好，但系统非线性越强、不确定性越大，拉直的误差就越不可控。UKF 和粒子滤波都是针对这个缺陷提出的改进。
UKF（Unscented Kalman Filter，1995）不再做线性化，而是采用无迹变换（Unscented Transform, UT） ：用一组精心挑选的确定性采样点（sigma 点）来近似分布，让这些点经过非线性函数后，用变换后点的统计量来估计新分布的均值和协方差。
无迹变换的理论基础是：对任意非线性函数，用 2 n + 1 2n+1 2 n + 1 n n n 。相比 EKF 的一阶泰勒，UT 至少保持二阶精度。
给定均值 x ˉ \bar{x} x ˉ P P P 2 n + 1 2n+1 2 n + 1
X ( 0 ) = x ˉ \mathcal{X}^{(0)} = \bar{x}
X ( 0 ) = x ˉ
X ( i ) = x ˉ + ( ( n + λ ) P ) i , i = 1 , … , n \mathcal{X}^{(i)} = \bar{x} + \left( \sqrt{(n + \lambda) P} \right)_i, \quad i = 1, \ldots, n
X ( i ) = x ˉ + ( ( n + λ ) P ) i , i = 1 , … , n
X ( i + n ) = x ˉ − ( ( n + λ ) P ) i , i = 1 , … , n \mathcal{X}^{(i+n)} = \bar{x} - \left( \sqrt{(n + \lambda) P} \right)_i, \quad i = 1, \ldots, n
X ( i + n ) = x ˉ − ( ( n + λ ) P ) i , i = 1 , … , n
其中 λ = α 2 ( n + κ ) − n \lambda = \alpha^2 (n + \kappa) - n λ = α 2 ( n + κ ) − n α \alpha α 1 0 − 3 10^{-3} 1 0 − 3 κ \kappa κ ( ( n + λ ) P ) i \left( \sqrt{(n+\lambda)P} \right)_i ( ( n + λ ) P ) i i i i
对应的权重：
W m ( 0 ) = λ n + λ , W c ( 0 ) = λ n + λ + ( 1 − α 2 + β ) W^{(0)}_m = \frac{\lambda}{n + \lambda}, \quad
W^{(0)}_c = \frac{\lambda}{n + \lambda} + (1 - \alpha^2 + \beta)
W m ( 0 ) = n + λ λ , W c ( 0 ) = n + λ λ + ( 1 − α 2 + β )
W m ( i ) = W c ( i ) = 1 2 ( n + λ ) , i = 1 , … , 2 n W^{(i)}_m = W^{(i)}_c = \frac{1}{2(n + \lambda)}, \quad i = 1, \ldots, 2n
W m ( i ) = W c ( i ) = 2 ( n + λ ) 1 , i = 1 , … , 2 n
其中 β \beta β β = 2 \beta = 2 β = 2
预测步 ：每个 sigma 点经过状态转移函数：
Y ( i ) = f ( X ( i ) ) , i = 0 , … , 2 n \mathcal{Y}^{(i)} = f(\mathcal{X}^{(i)}), \quad i = 0, \ldots, 2n
Y ( i ) = f ( X ( i ) ) , i = 0 , … , 2 n
加权得到预测均值与协方差：
x ^ k ∣ k − 1 = ∑ i = 0 2 n W m ( i ) Y ( i ) \hat{x}_{k|k-1} = \sum_{i=0}^{2n} W^{(i)}_m \mathcal{Y}^{(i)}
x ^ k ∣ k − 1 = i = 0 ∑ 2 n W m ( i ) Y ( i )
P k ∣ k − 1 = ∑ i = 0 2 n W c ( i ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ + Q k P_{k|k-1} = \sum_{i=0}^{2n} W^{(i)}_c \left( \mathcal{Y}^{(i)} - \hat{x}_{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Y}^{(i)} - \hat{x}_{k|k-1} \right)^{\top} + Q_k
P k ∣ k − 1 = i = 0 ∑ 2 n W c ( i ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ + Q k
更新步 ：预测 sigma 点经过观测函数：
Z ( i ) = h ( Y ( i ) ) \mathcal{Z}^{(i)} = h(\mathcal{Y}^{(i)})
Z ( i ) = h ( Y ( i ) )
预测观测均值与协方差：
z ^ k ∣ k − 1 = ∑ i = 0 2 n W m ( i ) Z ( i ) \hat{z}_{k|k-1} = \sum_{i=0}^{2n} W^{(i)}_m \mathcal{Z}^{(i)}
z ^ k ∣ k − 1 = i = 0 ∑ 2 n W m ( i ) Z ( i )
S k = ∑ i = 0 2 n W c ( i ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ + R k S_k = \sum_{i=0}^{2n} W^{(i)}_c \left( \mathcal{Z}^{(i)} - \hat{z}_{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}^{(i)} - \hat{z}_{k|k-1} \right)^{\top} + R_k
S k = i = 0 ∑ 2 n W c ( i ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ + R k
状态与观测的互协方差：
P x z = ∑ i = 0 2 n W c ( i ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ⊤ P_{xz} = \sum_{i=0}^{2n} W^{(i)}_c \left( \mathcal{Y}^{(i)} - \hat{x}_{k|k-1} \right) \left( \mathcal{Z}^{(i)} - \hat{z}_{k|k-1} \right)^{\top}
P x z = i = 0 ∑ 2 n W c ( i ) ( Y ( i ) − x ^ k ∣ k − 1 ) ( Z ( i ) − z ^ k ∣ k − 1 ) ⊤
增益与更新（与 KF 形式相同，只是 S k S_k S k
K k = P x z S k − 1 K_k = P_{xz} S_k^{-1}
K k = P x z S k − 1
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k ( z k − z ^ k ∣ k − 1 ) \hat{x}_{k|k} = \hat{x}_{k|k-1} + K_k (z_k - \hat{z}_{k|k-1})
x ^ k ∣ k = x ^ k ∣ k − 1 + K k ( z k − z ^ k ∣ k − 1 )
P k ∣ k = P k ∣ k − 1 − K k S k K k ⊤ P_{k|k} = P_{k|k-1} - K_k S_k K_k^{\top}
P k ∣ k = P k ∣ k − 1 − K k S k K k ⊤
维度
EKF
UKF
近似方式
一阶泰勒线性化
sigma 点确定性采样
精度
一阶
二阶（均值和协方差精确匹配）
是否需要雅可比
需要（解析或数值）
不需要
计算量
每次一个雅可比求值
2 n + 1 2n+1 2 n + 1
强非线性
误差大可能发散
更稳健
UKF 的计算量约为 EKF 的 2 n + 1 2n+1 2 n + 1 n n n n n n 无需推导雅可比矩阵 ：只要状态转移函数和观测函数可以求值，就能用，这对耦合神经网络的观测模型尤其友好。
KF、EKF、UKF 都假设后验分布可以用高斯（均值 + 协方差）参数化。但真实后验可能是多峰的：目标可能在岔路口左转或右转，两个假设都合理，高斯分布无法表达这种多峰性。粒子滤波（Particle Filter）放弃参数化假设，用**一组带权重的随机样本（粒子）**来近似任意分布：
p ( x k ∣ z 1 : k ) ≈ ∑ i = 1 N w k ( i ) δ ( x k − x k ( i ) ) p(x_k \mid z_{1:k}) \approx \sum_{i=1}^{N} w_k^{(i)} \delta(x_k - x_k^{(i)})
p ( x k ∣ z 1 : k ) ≈ i = 1 ∑ N w k ( i ) δ ( x k − x k ( i ) )
其中 x k ( i ) x_k^{(i)} x k ( i ) i i i w k ( i ) w_k^{(i)} w k ( i ) ∑ i w k ( i ) = 1 \sum_i w_k^{(i)} = 1 ∑ i w k ( i ) = 1 N N N
直接从后验采样是困难的（我们不知道后验长什么样），粒子滤波用重要性采样 绕开：从一个容易采样的提议分布 q ( x k ∣ z 1 : k ) q(x_k \mid z_{1:k}) q ( x k ∣ z 1 : k ) 序贯重要性采样（Sequential Importance Sampling, SIS） ，权重递推为：
w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ p ( z k ∣ x k ( i ) ) ⋅ p ( x k ( i ) ∣ x k − 1 ( i ) ) q ( x k ( i ) ∣ x k − 1 ( i ) , z k ) w_k^{(i)} \propto w_{k-1}^{(i)} \cdot \frac{p(z_k \mid x_k^{(i)}) \cdot p(x_k^{(i)} \mid x_{k-1}^{(i)})}{q(x_k^{(i)} \mid x_{k-1}^{(i)}, z_k)}
w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ q ( x k ( i ) ∣ x k − 1 ( i ) , z k ) p ( z k ∣ x k ( i ) ) ⋅ p ( x k ( i ) ∣ x k − 1 ( i ) )
如果选择状态转移分布作为提议分布（q = p ( x k ∣ x k − 1 ) q = p(x_k \mid x_{k-1}) q = p ( x k ∣ x k − 1 )
w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ p ( z k ∣ x k ( i ) ) w_k^{(i)} \propto w_{k-1}^{(i)} \cdot p(z_k \mid x_k^{(i)})
w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ p ( z k ∣ x k ( i ) )
即权重只乘以似然 。粒子的状态按状态转移方程传播，权重按"观测有多可能"更新，这就是粒子滤波最朴素的工作方式。
SIS 有一个严重问题：权重退化 。经过若干轮递推，少数粒子的权重会趋近 1，其余粒子的权重趋近 0，有效粒子数骤降，大量计算浪费在无意义的粒子上。度量退化程度用有效粒子数：
N eff = 1 ∑ i = 1 N ( w k ( i ) ) 2 N_{\text{eff}} = \frac{1}{\sum_{i=1}^{N} (w_k^{(i)})^2}
N eff = ∑ i = 1 N ( w k ( i ) ) 2 1
当 N eff N_{\text{eff}} N eff N / 2 N/2 N / 2 重采样（Resampling） ：按权重从当前粒子集中有放回地抽取 N N N
x k ( i ) ∼ ∑ j = 1 N w k ( j ) δ ( x − x k ( j ) ) , w k ( i ) = 1 N x_k^{(i)} \sim \sum_{j=1}^{N} w_k^{(j)} \delta(x - x_k^{(j)}), \quad w_k^{(i)} = \frac{1}{N}
x k ( i ) ∼ j = 1 ∑ N w k ( j ) δ ( x − x k ( j ) ) , w k ( i ) = N 1
重采样后所有粒子权重重置为 1 / N 1/N 1 / N 重采样是粒子滤波能长期运行的保证 ，但也会引入粒子贫化（diversity loss）：高权重粒子被反复复制，种群多样性下降。缓解手段包括加入马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）移动步骤或正则化重采样。
完整的标准粒子滤波（SIR：Sampling Importance Resampling）：
初始化 ：从先验 p ( x 0 ) p(x_0) p ( x 0 ) N N N w 0 ( i ) = 1 / N w_0^{(i)} = 1/N w 0 ( i ) = 1 / N 预测 ：每个粒子按状态转移方程传播 x k ( i ) ∼ p ( x k ∣ x k − 1 ( i ) ) x_k^{(i)} \sim p(x_k \mid x_{k-1}^{(i)}) x k ( i ) ∼ p ( x k ∣ x k − 1 ( i ) ) 更新 ：计算似然并更新权重 w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ p ( z k ∣ x k ( i ) ) w_k^{(i)} \propto w_{k-1}^{(i)} \cdot p(z_k \mid x_k^{(i)}) w k ( i ) ∝ w k − 1 ( i ) ⋅ p ( z k ∣ x k ( i ) ) 重采样 ：若 N eff < N th N_{\text{eff}} < N_{\text{th}} N eff < N th 回到步骤 2，直到序列结束。
四种滤波器的本质区别
KF：解析解，只适用于线性高斯，但最优且高效。EKF：把非线性拉直再用 KF，快但近似粗糙。UKF：用 sigma 点精确匹配前两阶矩，无需求导，强非线性更稳。PF：用随机粒子近似任意分布，能表达多峰，但计算量大且有退化风险。选择依据是"非线性强度 × 分布形状 × 算力预算"。
主流基于检测的跟踪器（SORT、DeepSORT、ByteTrack）都采用"检测 + 关联 + 滤波"的三段式，卡尔曼滤波负责其中的运动模型部分：
预测 ：对每个已确认轨迹，用 KF 预测下一帧的位置与速度，得到预测框。关联 ：用预测框与检测框的 IoU（或结合外观特征的距离）做匹配（匈牙利算法或 Sinkhorn）。更新 ：匹配成功的轨迹用对应检测更新 KF；未匹配的轨迹只预测不更新（漏检时保持存活一段时间，这依赖 KF 协方差的自然增长）。
ByteTrack 使用标准的匀速模型 KF，状态为 7 维：
x = [ u , v , s , r , u ˙ , v ˙ , s ˙ ] ⊤ x = [u, v, s, r, \dot{u}, \dot{v}, \dot{s}]^{\top}
x = [ u , v , s , r , u ˙ , v ˙ , s ˙ ] ⊤
其中 ( u , v ) (u, v) ( u , v ) s s s r r r [ u , v , s , r ] [u, v, s, r] [ u , v , s , r ] 宽高比 r r r ，这是跟踪场景的常见简化：目标大小变化时面积变化，但比例相对稳定。
DeepSORT 在 KF 之上增加了外观分支：用 ReID 特征计算外观距离，与马氏距离（利用 KF 协方差）加权融合作为关联代价：
c i j = λ ⋅ d ( 1 ) ( i , j ) + ( 1 − λ ) ⋅ d ( 2 ) ( i , j ) c_{ij} = \lambda \cdot d^{(1)}(i, j) + (1 - \lambda) \cdot d^{(2)}(i, j)
c i j = λ ⋅ d ( 1 ) ( i , j ) + ( 1 − λ ) ⋅ d ( 2 ) ( i , j )
其中 d ( 1 ) d^{(1)} d ( 1 ) d ( 1 ) ( i , j ) = ( z j − H x ^ i ) ⊤ S i − 1 ( z j − H x ^ i ) d^{(1)}(i,j) = (z_j - H\hat{x}_i)^{\top} S_i^{-1} (z_j - H\hat{x}_i) d ( 1 ) ( i , j ) = ( z j − H x ^ i ) ⊤ S i − 1 ( z j − H x ^ i ) d ( 2 ) d^{(2)} d ( 2 ) 马氏距离用到了 KF 的协方差 S i S_i S i ，这个信息在关联代价里直接参与决策。
方法
适用场景
跟踪中的典型问题
KF
线性近似足够（大多数行人/车辆跟踪）
匀速模型在转弯时预测偏差大
EKF
弱非线性观测（如极坐标雷达）
需要推导雅可比，强转弯误差大
UKF
强非线性（相机与鸟瞰视角映射、非线性运动）
计算量略增，精度提升明显
PF
多峰后验（多假设、强遮挡、路口分叉）
粒子数选择困难，实时性受限
工程上的现实是：KF 因为简单高效仍是默认选择，ByteTrack 甚至只用 IoU 关联 + KF 就达到了极强的效果 。滤波器的选择不是越高级越好，而是"模型误差与计算预算的权衡"：检测器的质量、帧率、场景复杂度共同决定需要多复杂的滤波器。
近年来出现了"滤波 + 学习"的混合范式，值得关注：
可学习的过程噪声 ：把 Q Q Q R R R 滤波作为可微模块 ：KF 的预测更新都是可微操作，可以嵌入检测器或跟踪器的反向传播链路（如 TrackFormer 中把运动先验做成可微组件）。与图模型结合 ：在多目标跟踪中，KF 提供单目标的运动先验，图匹配（匈牙利/Sinkhorn）负责多目标之间的关联，两者分工明确。我们之前在异质图与匹配上的工作，正是把"滤波给的预测 + 图模型给的关联"结合。
卡尔曼滤波家族的共同弱点是模型误差 ：匀速/匀加速模型只是对真实运动的近似，当目标急转弯、变速时，模型误差无法用高斯噪声完全刻画。自适应滤波（如 Sage-Husa 自适应估计 Q Q Q R R R
UKF 和粒子滤波分别处理了强非线性和多峰后验，但两者都未同时解决：UKF 仍假设单峰，PF 的计算量随维度指数增长（高维粒子滤波的"维度灾难"）。混合方案（如高斯和滤波：用多个高斯分量近似多峰）是中间路线。
多目标跟踪往往需要实时，粒子滤波数千粒子的计算量在边缘设备上难以承受。工程上的常见做法是分层滤波 ：用 KF 做粗粒度跟踪，只在必要时（遮挡、分叉）对少数轨迹启用粒子滤波细化。
滤波器的贝叶斯框架与深度学习的表示能力正在融合：学习观测模型（检测器）已经成熟，学习状态转移模型（运动预测网络）是活跃方向，端到端的"检测 + 滤波 + 关联"联合优化是长期目标。滤波器的价值在于提供可解释的不确定性传播，这是纯黑盒网络难以替代的 。
本文从贝叶斯滤波的统一框架出发，完整推导了卡尔曼滤波的预测更新两步与增益最优性，然后沿着"近似方式"这条线介绍了三个扩展：
KF ：线性高斯假设下的解析解，五个方程，均方误差最优，工程标配。EKF ：一阶泰勒线性化，用雅可比矩阵把非线性"拉直"，简单但有精度损失。UKF ：sigma 点确定性采样，精确匹配前两阶矩，免求导，强非线性更稳。PF ：蒙特卡洛采样近似任意分布，能表达多峰后验，但计算量大、有退化风险。
四种方法解决同一个问题（递推估计后验分布），区别只在近似的具体方式。对多目标跟踪而言，理解这个框架比记住某个滤波器的公式更重要：KF 提供高效基线，UKF 处理强非线性，PF 处理多模态，选择取决于场景的模型误差与算力预算 。
[1] Kalman, R. E. A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems. Journal of Basic Engineering, 82(1):35-45, 1960.