点模式分析

给定一张地图上的一堆点（犯罪事件、店铺位置、疾病病例），我们关心的常常不是"哪里密度高"（那是核密度分析的答案），而是"这些点的空间分布是随机的、聚集的还是均匀的"。这个问题是点模式分析（Point Pattern Analysis）的核心。本文从空间完全随机性（CSR）假设出发，介绍 Ripley’s K 函数、L 函数与交叉 K 函数，它们用"距离尺度的函数"刻画点分布的空间结构。

空间完全随机性（CSR）

泊松过程模型

点模式分析的基准是空间完全随机性（Complete Spatial Randomness, CSR）：点在研究区域内独立均匀分布。数学上对应齐次泊松点过程，其性质是：

任意区域 $A$ 内的点数服从泊松分布： $N(A) \sim \text{Poisson}(\lambda |A|)$ ，其中 $\lambda$ 是强度（单位面积的平均点数）， $|A|$ 是区域面积。
不同区域的点数相互独立。

CSR 是"零假设"：如果点模式显著偏离 CSR，则存在聚集（clustered）或规则（regular）结构。点模式分析的框架就是构造统计量、与 CSR 的理论值对比、检验偏离。

聚集与规则

聚集（Clustered）：点在局部区域密集，小距离上"点的邻居异常多"。
规则（Regular）：点之间互相排斥，分布均匀，小距离上"点的邻居异常少"（如树木间距受竞争限制）。

Ripley’s K 函数

定义

Ripley’s K 函数刻画"以任意点为中心、半径 $r$ 的圆内平均有多少个其他点"：

K(r) = \frac{1}{\lambda} \mathbb{E}[\text{以某个点为中心，半径 } r \text{ 圆内的其他点数}]

在 CSR 假设下， $K(r)$ 的理论值是圆的面积：

K_{\text{CSR}}(r) = \pi r^2

因为 CSR 下点的位置独立均匀，任意点周围的其他点密度就是全局强度 $\lambda$ ，半径 $r$ 圆内期望点数为 $\lambda \pi r^2$ 。

估计

实际数据中 $K(r)$ 用经验估计，需要考虑边界效应（研究区域边缘的点，其圆会超出区域）：

\hat{K}(r) = \frac{|A|}{n^2} \sum_{i=1}^{n} \sum_{j \neq i} w_{ij}^{-1} \mathbb{I}\left( d_{ij} \le r \right)

其中 $|A|$ 是研究区域面积， $n$ 是点数， $w_{ij}$ 是边校正权重（如 Ripley 的 isotropic 校正： $w_{ij}$ 等于以 $i$ 为圆心、 $d_{ij}$ 为半径的圆弧落在区域内的比例）。边校正保证估计无偏。

解读

$K(r) > \pi r^2$ ：小距离上邻居过多，点聚集。
$K(r) < \pi r^2$ ：小距离上邻居过少，点规则分布。
$K(r) \approx \pi r^2$ ：符合 CSR。

$K(r)$ 是尺度化的：不同 $r$ 值对应不同的距离尺度，它揭示"聚集发生在哪个尺度"。例如犯罪点可能在 200 米尺度聚集（街头犯罪），在 2 公里尺度均匀（城市整体覆盖）。

L 函数：稳定化的 K

定义

$K(r)$ 与 $\pi r^2$ 的比较在数值上随 $r$ 增长，不直观。L 函数对 $K$ 做变换，使 CSR 下的理论值为一条直线：

L(r) = \sqrt{\frac{K(r)}{\pi}}

CSR 下 $L(r) = r$ 。更常用的版本减去基准线，突出偏离：

\hat{L}(r) = \sqrt{\frac{\hat{K}(r)}{\pi}} - r

$\hat{L}(r) > 0$ ：聚集（在尺度 $r$ 上邻居多于 CSR）。
$\hat{L}(r) < 0$ ：规则分布。
$\hat{L}(r) \approx 0$ ：CSR。

L 函数的优势是零基线直观：所有偏离都围绕 0 波动，方便做置信带检验。

置信带与显著性

L 函数的显著性通过蒙特卡洛模拟检验：在区域内按 CSR 模拟大量点集（如 999 次），每次计算 $L(r)$ ，取模拟值的包络（如 2.5% 与 97.5% 分位）作为置信带。真实数据 $L(r)$ 超出置信带的位置，才认为在该尺度上有显著聚集或规则结构。这个模拟框架是点模式分析的通用显著性检验方式。

K/L 函数回答了核密度回答不了的问题

核密度分析给出"哪里密度高"的连续场，但无法回答"聚集是否显著"或"聚集发生在哪个尺度"。K/L 函数是尺度化的统计检验：它在每个距离尺度上对比观测与 CSR 期望，配合蒙特卡洛置信带给出显著性结论。两者互补：KDE 看形态，K/L 看结构。

交叉 K 函数：两类点的空间关系

定义

当有两类点（如商店 A 与商店 B、病例与对照）时，关心的是两类点之间的空间关系。交叉 K 函数统计"以 $i$ 类点为中心、半径 $r$ 内 $j$ 类点的平均数量"：

K_{ij}(r) = \frac{1}{\lambda_j} \mathbb{E}[\text{以 $i$ 类点为中心，半径 } r \text{ 内 $j$ 类点数}]

CSR（两类点独立随机）下理论值仍为 $\pi r^2$ 。交叉 L 函数：

L_{ij}(r) = \sqrt{\frac{K_{ij}(r)}{\pi}} - r

解读

$L_{ij}(r) > 0$ ： $j$ 类点倾向于出现在 $i$ 类点附近（吸引，如店铺聚集在商圈）。
$L_{ij}(r) < 0$ ： $j$ 类点避开 $i$ 类点（排斥，如竞争性店铺保持距离）。
蒙特卡洛检验时，模拟需要保持两类点的数量不变，随机重排位置（随机标记检验），而不是重新生成点。

交叉 K 函数在生态学（物种共存/排斥）、流行病学（病例 vs 对照的空间聚集）、商业地理（竞争/互补关系）中应用广泛。

实践要点

边界效应

点模式分析最大的实践陷阱是边界效应：研究区域边缘的点，其邻域圆超出区域，若不校正会低估 $K(r)$ 。常用边校正：

isotropic 校正：按圆弧落在区域内的比例加权。
translate 校正：按平移后仍落在区域内的比例加权。
border 校正：只统计到边界距离 $\ge r$ 的点，最简单但丢弃数据。

非平稳性

K/L 函数假设强度 $\lambda$ 均匀（平稳点过程）。真实数据常是非平稳的（城市中心点密度高、郊区低），此时 K 函数会把"整体密度变化"误判为"聚集"。处理方式：

分区域分析：把研究区划分为子区域，分别分析。
非齐次 K 函数：用核密度估计的强度 $\hat{\lambda}(x)$ 归一化， $K_{\text{inhom}}(r) = \frac{1}{|A|} \sum_{i \neq j} \frac{\mathbb{I}(d_{ij} \le r)}{\hat{\lambda}(x_i) \hat{\lambda}(x_j)}$ 。

与密度聚类、核密度的配合

完整的空间点分析工作流：先用核密度看整体形态，用 HDBSCAN 得到簇划分，再用 K/L 函数检验聚集的尺度与显著性，三者回答不同层次的问题（哪里密、怎么分组、聚集是否显著）。

参考

[1] Ripley, B. D. Modelling Spatial Patterns. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 1977.
[2] Besag, J. Contribution to the Discussion of Dr. Ripley’s Paper. Journal of the Royal Statistical Society Series B, 1977.
[3] Dixon, P. M. Ripley’s K Function. Encyclopedia of Environmetrics, 2002.
[4] Baddeley, A., Rubak, E., & Turner, R. Spatial Point Patterns: Methodology and Applications with R. Chapman & Hall/CRC, 2015.
[5] Getis, A., & Franklin, J. Second-Order Neighborhood Analysis of Mapped Point Patterns. Ecology, 1987.
[6] Wiegand, T., & Moloney, K. A. Rings, Circles, and Null-Models for Point Pattern Analysis in Ecology. Oikos, 2004.
[7] Ripley, B. D. Statistical Inference for Spatial Processes. Cambridge University Press, 1988.