地理加权回归变体

地理加权回归（GWR）是处理空间异质性的经典工具：回归系数随地理位置变化，让模型捕捉"不同地方影响机制不同"的现象。但经典 GWR 有两个已知缺陷：所有变量共享同一个带宽（假设空间过程在各变量上尺度相同），且只能处理截面数据（忽略时间维度）。本文介绍两条改进路线：多尺度 GWR（MGWR）解决带宽问题，时空加权回归（GTWR）引入时间维度，最后回顾我们之前介绍的 GNNWR 如何用神经网络进一步放松 GWR 的线性假设。

GWR 回顾

模型形式

GWR 允许每个位置 $i$ 有独立的回归系数 $\beta_i$ ：

y_i = \beta_{i0} + \sum_{k=1}^{p} \beta_{ik} x_{ik} + \varepsilon_i

系数通过加权最小二乘估计，权重由位置 $i$ 与其他样本位置 $j$ 的空间距离决定：

\hat{\beta}_i = (X^{\top} W_i X)^{-1} X^{\top} W_i y

其中 $W_i = \text{diag}(w_{i1}, \ldots, w_{in})$ 是空间权重矩阵， $w_{ij}$ 由核函数（常用高斯核或 bi-square 核）与带宽 $b$ 决定：

w_{ij} = \exp\left( -\frac{d_{ij}^2}{2b^2} \right)

带宽 $b$ 通过交叉验证或 AICc 选择，所有变量共享同一个带宽。

经典 GWR 的两个缺陷

单一带宽假设：不同自变量可能在不同的空间尺度上变化。例如"房价受地铁距离影响"可能在 2 公里尺度上平稳，"受学区影响"可能在 500 米尺度上波动。单一带宽强迫所有变量用同一个尺度，快的被抹平、慢的被过度拟合。
截面局限：GWR 只处理一个时间截面的数据。真实的空间过程随时间演化（房价随年份变化），忽略时间维度会混淆"空间异质性"与"时间异质性"。

MGWR：多尺度地理加权回归

模型形式

MGWR（Multiscale GWR）为每个变量 $k$ 分配独立的带宽 $b_k$ ：

y_i = \sum_{k=1}^{p} \beta_{b_k, ik} x_{ik} + \varepsilon_i

每个变量的系数有自己的空间平滑尺度。估计使用**后向拟合（Backfitting）**算法：迭代地固定其他变量，用该变量自己的带宽估计其系数，直到收敛。

后向拟合算法

初始化所有系数（如用 OLS 或全局 GWR）。
对每个变量 $k$ ：计算部分残差 $y_i^* = y_i - \sum_{m \neq k} \hat{\beta}_{im} x_{im}$ ，用带宽 $b_k$ 对 $y_i^*$ 回归 $x_k$ ，更新 $\hat{\beta}_{ik}$ 。
收敛判定：系数变化小于阈值时停止。

带宽 $b_k$ 在每轮通过交叉验证更新。MGWR 的带宽选择揭示了各变量的空间作用尺度，这是它超越预测本身的分析价值：带宽小的变量是"局部影响"，带宽大的变量接近"全局影响"。

与 GWR 的关系

当所有 $b_k$ 相等时 MGWR 退化为 GWR，因此 MGWR 是 GWR 的严格泛化。实际数据中 MGWR 通常显著改善拟合（AICc 更低），且系数估计更接近真实的空间过程。

GTWR：时空地理加权回归

时空权重

GTWR（Geographically and Temporally Weighted Regression）把距离扩展到时空联合空间。位置 $i$ 与 $j$ 的时空距离定义为：

d_{ij}^{ST} = \sqrt{ \lambda \left( u_i - u_j \right)^2 + \lambda \left( v_i - v_j \right)^2 + \mu \left( t_i - t_j \right)^2 }

其中 $(u, v)$ 是空间坐标， $t$ 是时间， $\lambda$ 与 $\mu$ 是空间与时间的缩放参数（反映"空间 1 公里"与"时间 1 天"在影响权重上的换算比例）。时空权重：

w_{ij}^{ST} = \exp\left( -\frac{(d_{ij}^{ST})^2}{b_{ST}^2} \right)

参数估计

GTWR 的系数估计与 GWR 形式相同，只是权重矩阵换成时空权重：

\hat{\beta}_i^{ST} = (X^{\top} W_i^{ST} X)^{-1} X^{\top} W_i^{ST} y

$\lambda$ 、 $\mu$ 与带宽 $b_{ST}$ 通过交叉验证联合优化。GTWR 适用于面板数据（多个时间截面），能同时刻画空间异质性与时间演化，典型应用包括房价时空建模、空气质量时空分析、流行病传播建模。

GWR → MGWR → GTWR 的演进逻辑

GWR 让系数随空间变化（空间异质性）；MGWR 让"每个变量的空间变化尺度"各自独立（多尺度空间异质性）；GTWR 把时间维度纳入权重（时空异质性）。三条改进分别对应"变量尺度被抹平"、"时间被忽略"两个缺陷，加上 GNNWR 的"线性假设被放松"，构成完整的演进谱系。

GNNWR：神经网络化的地理加权回归

从线性到非线性

经典 GWR 的权重 $w_{ij}$ 是距离的固定核函数，系数估计是线性的。GNNWR（Geographically Neural Network Weighted Regression）用神经网络学习空间权重：

\hat{\beta}_i = (X^{\top} W_i X)^{-1} X^{\top} W_i y, \quad W_i = \text{GNN}(d_{i1}, \ldots, d_{in})

网络输入是位置 $i$ 到各样本的距离向量，输出是权重向量，训练目标是最小化预测误差。神经网络的拟合能力让权重可以捕捉复杂的空间依赖模式，不再受限于高斯核或 bi-square 核的固定形式。

与 MGWR、GTWR 的结合

GNNWR 的框架天然兼容多尺度与时空扩展：网络可以接收"各变量的独立距离"（对应 MGWR 的多带宽）或"时空联合距离"（对应 GTWR），输出更灵活的权重结构。这也解释了为什么 GNNWR 在实际数据上通常优于经典 GWR：它同时放松了核函数形式与尺度一致性的限制。

变体的选择与对比

方法	空间异质性	多尺度	时间维度	非线性	适用数据
GWR	有	无	无	无	截面数据
MGWR	有	有	无	无	截面数据
GTWR	有	无	有	无	面板数据
GNNWR	有	可扩展	可扩展	有	截面/面板

选择建议：数据只有单时间截面、变量尺度相近用 GWR；怀疑变量作用尺度差异大用 MGWR；有多年数据且关心时间演化用 GTWR；样本量足够、需要捕捉复杂空间依赖用 GNNWR。带宽（或网络的平滑结构）的解释价值不低于预测价值：它们揭示"每个变量的影响在多大空间尺度上稳定"，这是纯机器学习模型给不出的空间诊断信息。

参考

[1] Brunsdon, C., Fotheringham, A. S., & Charlton, M. E. Geographically Weighted Regression: A Method for Exploring Spatial Nonstationarity. Geographical Analysis, 1996.
[2] Fotheringham, A. S., Brunsdon, C., & Charlton, M. Geographically Weighted Regression: The Analysis of Spatially Varying Relationships. Wiley, 2002.
[3] Fotheringham, A. S., Yang, W., & Kang, W. Multiscale Geographically Weighted Regression. Annals of the American Association of Geographers, 2017.
[4] Huang, B., Wu, B., & Barry, M. Geographically and Temporally Weighted Regression for Modeling Spatio-Temporal Variation in House Prices. IJGIS, 2010.
[5] Du, Z., et al. A Geographically Neural Network Weighted Regression (GNNWR) for Accurate Spatial Prediction. Annals of GIS, 2020.
[6] Fotheringham, A. S., et al. Multiscale Geographically Weighted Regression (MGWR) and Its Relationship to Local and Global Models. International Journal of Geographical Information Science, 2017.
[7] LeSage, J. P. The Theory and Practice of Spatial Econometrics. 1999.